正多角形および星形一筆書と素数判定法（ベータ版）

――　まえがき　――
題名：正多角形および星形一筆書と素数判定法（ベータ版）
著者：茜町春彦
概要：自然数Ｎが素数であるか、合成数であるか、を判定する方法を解説します．

素数を判定する目的において、正多角形である必要はなく、普通の多角形でＯＫなのですが、作図が簡単なので正多角形を使用しました．
（テーマは幾何学ではなく、整数論です）

――　解説のための準備　――

《正多角形の各頂点に名前を付けて識別する》
まず、正多角形のどれか１つの頂点を一筆書の始点に選び、Ａ０と呼ぶことにします．
そして、Ａ０から反時計回りに１番目の頂点をＡ１、２番目の頂点をＡ２，３番目の頂点をＡ３、４番目の頂点をＡ４・・・、ｉ番目の頂点をＡｉ、と呼ぶことにします．（本書では、反時計回りに頂点を巡って行くことにします）

したがって、一巡、二巡、三巡およびそれ以降に於いて、各頂点は複数の名前を持つことになります．

《始点と終点》
一筆書は始点から書き始めて、必ず始点に戻って来ると仮定しています．
つまり、始点と終点が一致すると云う事です．（証明は行なっておりません）

《一筆書の方法》
始点から等間隔で頂点を巡って一筆書を行なう事とします．
例えば、頂点を２番目づつ巡るなら、Ａ０→Ａ２→Ａ４→Ａ６→Ａ８→Ａ１０と巡る事となります．

３番目づつ巡るなら、Ａ０→Ａ３→Ａ６→Ａ９→Ａ１２→Ａ１５と巡る事となります．

――　一筆書の実例、０１　――

《実例について》
正５角形と正８角形を例にとって、一筆書の手順を幾つか示します．他の正多角形も同様に考える事とします．

《正５角形：２番目づつ》
始点Ａ０から反時計回りに頂点を２番目づつ巡り一筆書を行なってみます．

すると、Ａ０→Ａ２→Ａ４→Ａ６→Ａ８→Ａ１０の順で、星形の一筆書が出来ます．

この場合、全ての頂点を経由しています．そして５と２が互いに素であることに気付きました．

――　一筆書の実例、０２　――

《正５角形：３番目づつ》
始点Ａ０から反時計回りに頂点を３番目づつ巡り一筆書を行なってみます．

すると、Ａ０→Ａ３→Ａ６→Ａ９→Ａ１２→Ａ１５の順で、星形の一筆書が出来ます．

この場合、全ての頂点を経由しています．そして５と３が互いに素であることに気付きました．

――　一筆書の実例、０３　――

《正８角形：２番目づつ》
始点Ａ０から反時計回りに頂点を２番目づつ巡り一筆書を行なってみます．

すると、Ａ０→Ａ２→Ａ４→Ａ６→Ａ８の順で、正方形の一筆書が出来ます．

この場合、経由しない頂点が残ります．８と２は互いに素ではありません．

――　一筆書の実例、０４　――

《正８角形：３番目づつ》
始点Ａ０から反時計回りに頂点を３番目づつ巡り一筆書を行なってみます．

すると、Ａ０→Ａ３→Ａ６→Ａ９→Ａ１２→Ａ１５→Ａ１８→Ａ２１→Ａ２４の順で、星形の一筆書が出来ます．

この場合、全ての頂点を経由しています．そして８と３が互いに素であることに気付きました．

――　一筆書の実例、０５　――

《正８角形：４番目づつ》
始点Ａ０から反時計回りに頂点を４番目づつ巡り一筆書を行なってみます．

すると、Ａ０→Ａ４→Ａ８の順で、一本の対角線を往復します．

この場合、経由しない頂点が残ります．８と４は互いに素ではありません．

――　一筆書の実例、０６　――

《正８角形：５番目づつ》
始点Ａ０から反時計回りに頂点を５番目づつ巡り一筆書を行なってみます．

すると、Ａ０→Ａ５→Ａ１０→Ａ１５→Ａ２０→Ａ２５→Ａ３０→Ａ３５→Ａ４０の順で、星形の一筆書が出来ます．

この場合、全ての頂点を経由しています．そして８と５が互いに素であることに気付きました．

――　一筆書の実例、０７　――

《正８角形：６番目づつ》
始点Ａ０から反時計回りに頂点を６番目づつ巡り一筆書を行なってみます．

すると、Ａ０→Ａ６→Ａ１２→Ａ１８→Ａ２４の順で、正方形の一筆書が出来ます．

この場合、経由しない頂点が残ります．８と６は互いに素ではありません．

――　一筆書の実例、０８　――

《正８角形：７番目づつ》
始点Ａ０から反時計回りに頂点を７番目づつ巡り一筆書を行なってみます．

すると、Ａ０→Ａ７→Ａ１４→Ａ２１→Ａ２８→Ａ３５→Ａ４２→Ａ４９→Ａ５６の順で、正８角形の外周をめぐる一筆書が出来ます．

この場合、全ての頂点を経由しています．そして８と７が互いに素であることに気付きました．

――　一筆書の実例、０９　――

《正８角形：８番目づつ》
始点Ａ０から反時計回りに頂点を８番目づつ巡り一筆書を行なってみます．

すると、Ａ０→Ａ８であり、始点がそのまま終点となります．

この場合、経由しない頂点が残ります．８と８は互いに素ではありません．

――　一筆書の実例、１０　――

《正８角形：９番目づつ》
始点Ａ０から反時計回りに頂点を９番目づつ巡り一筆書を行なってみます．

すると、Ａ０→Ａ９→Ａ１８→Ａ２７→Ａ３６→Ａ４５→Ａ５４→Ａ６３→Ａ７２の順で、正８角形の外周をめぐる一筆書が出来ます．

この場合、全ての頂点を経由しています．そして８と９が互いに素であることに気付きました．

――　一筆書の実例、１１　――

《正８角形：１０番目づつ》
始点Ａ０から反時計回りに頂点を１０番目づつ巡り一筆書を行なってみます．

すると、Ａ０→Ａ１０→Ａ２０→Ａ３０→Ａ４０の順で、正方形の一筆書が出来ます．

この場合、経由しない頂点が残ります．８と１０は互いに素ではありません．

――　一筆書の実例、１２　――

《正８角形：１１番目づつ》
始点Ａ０から反時計回りに頂点を１１番目づつ巡り一筆書を行なってみます．

すると、Ａ０→Ａ１１→Ａ２２→Ａ３３→Ａ４４→Ａ５５→Ａ６６→Ａ７７→Ａ８８の順で、星形の一筆書が出来ます．

この場合、全ての頂点を経由しています．そして８と１１が互いに素であることに気付きました．

――　実例から予想を行なう　――
《一般化してみる》
一筆書を『正Ｎ角形の始点Ａ０から反時計回りに頂点をＰ番目づつ巡り一筆書を行なう』と一般化してみます．

これと、前述の実例から次のような予想が出来ると思います．

・　一筆書が全ての頂点を経由するならば、ＮとＰは互いに素である．
・　経由しない頂点が残るならば、ＮとＰは互いに素ではない．
（証明は行なっておりません）

――　素数判定法　――
《正Ｎ角形：Ｐ番目づつ》
Ｎが素数であるか合成数であるかを判定するために、前述の予想が正しいと仮定すると次の事が云えると思います．

まず、正N角形を考えます．

つぎに、Ｎ未満の全ての素数の積を求めます．

（２×３×５×７×１１×１３×１７・・・）

その積をPとします．

（Ｐ＝２×３×５×７×１１×１３×１７・・・）

そして、正Ｎ角形の始点Ａ０から反時計回りに頂点をＰ番目づつ巡り一筆書を行ないます．

その結果、一筆書が全ての頂点を経由しているならば、ＮとＰは互いに素であると考えられるので、Ｎは素数である．

経由しない頂点が残るならば、ＮとＰは互いに素ではないので、Ｎは合成数である．

この判定法の適用例を以降に示します．

――　適用例、０１　――

《正7角形：３０番目づつ》
７が素数であるかどうかを判定するために、まず７未満の全ての素数の積を求めます．

Ｐ＝２×３×５＝３０

そして、正７角形の始点Ａ０から反時計回りに頂点を３０番目づつ巡り一筆書を行ないます．

すると、Ａ０→Ａ３０→Ａ６０→Ａ９０→Ａ１２０→Ａ１５０→Ａ１８０→Ａ２１０の順で星形の一筆書が出来ます．

この時、全ての頂点を経由しているので、７と３０は互いに素と判定します．

よって、７は素数である．

――　適用例、０２　――

《正8角形：２１０番目づつ》
８が素数であるかどうかを判定するために、まず８未満の全ての素数の積を求めます．

Ｐ＝２×３×５×７＝２１０

そして、正８角形の始点Ａ０から反時計回りに頂点を２１０番目づつ巡り一筆書を行ないます．

すると、Ａ０→Ａ２１０→Ａ４２０→Ａ６３０→Ａ８４０の順で正方形の一筆書が出来ます．

この時、経由しない頂点が残るので、８と２１０は互いに素ではないと判定します．

よって、８は合成数である．

――　適用例、０３　――

《正9角形：２１０番目づつ》
９が素数であるかどうかを判定するために、まず９未満の全ての素数の積を求めます．

Ｐ＝２×３×５×７＝２１０

そして、正９角形の始点Ａ０から反時計回りに頂点を２１０番目づつ巡り一筆書を行ないます．

すると、Ａ０→Ａ２１０→Ａ４２０→Ａ６３０の順で正三角形の一筆書が出来ます．

この時、経由しない頂点が残るので、９と２１０は互いに素ではないと判定します．

よって、９は合成数である．

――　適用例、０４　――

《正１０角形：２１０番目づつ》
１０が素数であるかどうかを判定するために、まず１０未満の全ての素数の積を求めます．

Ｐ＝２×３×５×７＝２１０

そして、正１０角形の始点Ａ０から反時計回りに頂点を２１０番目づつ巡り一筆書を行ないます．

すると、Ａ０→Ａ２１０であり、始点がそのまま終点となります．

この時、経由しない頂点が残るので、１０と２１０は互いに素ではないと判定します．

よって、１０は合成数である．

――　適用例、０５　――

《正１１角形：２１０番目づつ》
１１が素数であるかどうかを判定するために、まず１１未満の全ての素数の積を求めます．

Ｐ＝２×３×５×７＝２１０

そして、正１１角形の始点Ａ０から反時計回りに頂点を２１０番目づつ巡り一筆書を行ないます．

すると、Ａ０→Ａ２１０→Ａ４２０→Ａ６３０→Ａ８４０→Ａ１０５０→Ａ１２６０→Ａ１４７０→Ａ１６８０→Ａ１８９０→Ａ２１００→Ａ２３１０の順で正１１角形の外周をめぐる一筆書が出来ます．

この時、全ての頂点を経由しているので、１１と２１０は互いに素と判定します．

よって、１１は素数である．

――　適用例、０６　――

《正１２角形：２３１０番目づつ》
１２が素数であるかどうかを判定するために、まず１２未満の全ての素数の積を求めます．

Ｐ＝２×３×５×７×１１＝２３１０

そして、正１２角形の始点Ａ０から反時計回りに頂点を２３１０番目づつ巡り一筆書を行ないます．

すると、Ａ０→Ａ２３１０→Ａ４６２０順で一本の対角線を往復します．

この時、経由しない頂点が残るので、１２と２３１０は互いに素ではないと判定します．

よって、１２は合成数である．
（了）

――　あとがき　――
この本はパブーで公開した電子書籍、幾何エッセイ『正多角形および星形一筆書と素数判定法（ベータ版）』を加筆修正したものです．