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タイル張り「等辺凹5角形(渦巻状)」

概要:
1種類の図形を使用して、平面を等量等形分割する方法について解説します.

使用する図形を等辺凹5角形と呼ぶことにします.

この図形の基本的形状、作図方法、並べる手順、応用作品例を提示します.

 

 

ギャラリー1

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ギャラリー2

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《等辺凹5角形の形状》
等辺凹5角形の内角と辺は下記の通りとします.

内角:36°、252°(外角は108°)、36°、108°、108°
辺:すべて同じ長さ
基本図形の描き方

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《等辺凹5角形の作図法1》
まず正5角形を考えます.

この正5角形の隣り合う2辺を内側に折り返します.

内側に折り返した2辺と残りの3辺で囲まれた図形が等辺凹5角形となります.

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《等辺凹5角形の作図法2》
前述とは別の描き方を説明します.

まず2種類の3角形を考えます

ひとつは鋭角2等辺3角形で、内角と辺は下記の通りとします.

内角:36°、72°、72°
辺:1、1、(√5-1)÷2

もうひとつは鈍角2等辺3角形で、内角と辺は下記の通りとします.

内角:108°、36°、36°
辺:1、1、(√5+1)÷2

この2つの3角形の底辺を重ねます.

鋭角2等辺3角形の72°の角と鈍角2等辺3角形の36°の角を合わせます.

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《並べ方1》
等辺凹5角形を使用して平面を等量等形分割する手順を説明していきます.

まず、3個の等辺凹5角形を凸鋭角の位置で重ねます.

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《並べ方2》
並べ方1の図形を180°回転した図形を用意します.

そして、3つ重ねた凸鋭角36°と凹鈍角108°を重ねます.

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《並べ方3》
並べ方2の図形の凸鈍角のそれぞれに等辺凹5角形の凹鈍角を重ねると、外形が6角形になります.

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《並べ方4:1重渦巻き》
並べ方3の6角形の角のひとつの凸鈍角に等辺凹5角形の凹鈍角を重ねます.

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《並べ方5:1重渦巻き》
そして、凸鈍角に次々と等辺凹5角形の凹鈍角を渦巻くように重ねていきます.

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《並べ方6:1重渦巻き》
非対称で無限に平面を埋め尽くすことが可能だと思います.証明は行っておりません.

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《並べ方7:2重渦巻き》
別の並べ方を説明します.

並べ方3の6角形の凸鈍角のひとつと、反対側のもうひとつの凸鈍角に、等辺凹5角形の凹鈍角をそれぞれ重ねます.

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《並べ方8:2重渦巻き》
そして、凸鈍角に等辺凹5角形の凹鈍角を次々と重ねていきます.

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《並べ方9:2重渦巻き》
これも、無限に平面を埋め尽くすことが可能だと思います.証明は行っておりません.
(了)

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―― あとがき ――
タイル張り「等辺凹5角形(渦巻状)」
著者:茜町春彦

1種類の図形を用いたタイル張りの解説をしました.

投稿サイト「パブー」で公開した作品です.こちらに移植しました.
初出:
「幾何エッセイ『等量等形分割:等辺凹5角形(渦巻き状)』」2016年6月30日発行