茜町BOOKS

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平面の等量等形分割(凸5角形)

―― まえがき ――
1種類の図形を使用して、平面を等量等形分割する方法について解説します.

最終的に使用する図形は凸5角形ですが、途中まで等辺凸6角形をガイドとして使用します.

基本図形、ガイド図形、作図方法、タイル張り手順、応用作品例を提示します.

 

 

―― ギャラリー1 ――

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―― ギャラリー2 ――

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―― 基本図形 ――
凸5角形の内角と辺は下記の通りとします.

内角:72度、144度、144度、90度、90度
辺の長さの比率: 1 対 1 対 0.5 対 0.5 対 1.17557

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―― ガイド図形 ――
等辺凸6角形の内角と辺は下記の通りとします.

内角:72度、144度、144度、72度、144度、144度
辺:すべて同じ長さ

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―― 作図方法 ――
まず正10角形を考えます.

正10角形の外周のうち、連続する3辺を選びます.そして、この3辺を内側へ折り返します.選んだ外周の3辺と内側に折り返した3辺に囲まれた図形がガイド図形の等辺凸6角形です.

この等辺凸6角形を二等分したものが凸5角形です.逆の言い方をすると、凸5角形をふたつ組み合わせたものが等辺凸6角形です.

タイル張り手順では、ガイド図形の等辺凸6角形を使用して、二回回転対称性のあるタイル張りを示します.その後に、等辺凸6角形を二等分して、基本図形の凸5角形によるタイル張りを完成します.

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―― タイル張り手順1 ――
まず、等辺凸6角形を6個用意して図のように組み合わせます.

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―― タイル張り手順2 ――
等辺凸6角形の144度の頂点と別の144度の頂点が重なった所では、72度の空ができます.

360° - 2 x 144° = 72°

この空に、等辺凸6角形の72度の頂点を差し込みます.

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―― タイル張り手順3 ――
72度の空に、次々と等辺凸6角形の72度の頂点を差し込んで行きます.

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―― タイル張り手順4 ――
無限にタイル張りを続ける事が出来て、2回回転対称になると思います.
(証明は行なっておりません)

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―― タイル張り手順5 ――
等辺凸6角形をふたつの凸5角形で置き換えます.

凸5角形による平面の等量等形分割の完成です.
(了)

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―― あとがき ――
この本はパブーに於いて公開している電子書籍、エッセイ(数学)『平面の等量等形分割(凸5角形)』を加筆修正したものです.